 Se pensa que a multiplicação e a divisão são algoritmos matemáticos explorados recentemente e que obedecem a um só algoritmo, saiba que está enganado… Os egípcios, por exemplo, já dominavam algoritmos que possibilitavam o exercício de cálculos com alguma complexidade e que utilizavam na contabilidade, na gestão de stocks, etc… O método egípcio para calcular a multiplicação e a divisão era baseado numa sucessão de duplicações. Como exemplo de multiplicação achemos o produto de 12 por 27. A multiplicação é efetuada calculando o dobro de 12 (24), depois o quádruplo de 12 (48)… ou seja duplicando sempre o elemento da coluna da direita, até que a soma das duplicações exceda 27 (1+2+4+8+16=31).  Escolhemos, na coluna da esquerda, números que somados dêem 27: 1 + 2 + 8 + 16 = 27 Tomamos, na coluna da direita, os valores correspondentes e também os somamos: 12 + 24 + 96 + 192 = 324 Este número é o resultado da multiplicação: 12 x 27 = 3244 Para efetuar a divisão de 184 por 8 procedemos assim,  Duplicamos sucessivamente o divisor 8 (coluna da direita) até que o número de duplicações exceda o dividendo 184. Escolhemos, na coluna da direita, números que somados dêem 184: 128 + 32 + 16 + 8 = 184 Tomamos, na coluna da esquerda, os valores correspondentes e somando-os, temos: 1 + 2 + 4 + 16 = 23 O resultado da divisão será:  O método das subtrações sucessivas, ou método americano, é outra forma de dividir e de fácil compreensão. Imaginemos que queríamos dividir 25 por 6. Bastava subtrair sucessivamente 6 a 25 e depois subtrair de novo 6 ao resultado obtido e assim por diante… até que não seja possível subtrair mais (ou seja, quando obtivermos um número inferior a 6 e positivo ou nulo). Vejamos:   O algoritmo da divisão utilizado tradicionalmente no ensino do primeiro ciclo baseia-se no conhecimento profundo da chamada tabuada da multiplicação. Apresenta-se de seguida uma tabela que representa a tabuada tal como a conhecemos:  Imaginemos que queríamos dividir 475 por 5.  Existe uma ferramenta informática onde podem ser testados os conhecimentos ao nível da divisão e que nos parece muito interessante; poderá ser consultada e explorada em:
http://hypatiamat.com/FerramentaAlgoritmoDivisao.php Existem mais algoritmos para efetuar a divisão ou o produto (multiplicação) que poderemos abordar numa futura oportunidade. Fontes: http://www.matematica.br/historia/multdiveg.html http://www.dge.mec.pt/sites/default/files/Basico/Metas/Matematica/1ceb_algoritmos_3.pdf http://hypatiamat.com/FerramentaAlgoritmoDivisao.php http://viajarnamatematica.ese.ipp.pt/textos/numeros_calculo/algoritmos/algoritmos_divisao.pdf http://pt.scribd.com/doc/13614103/algoritmo-da-divisao#scribd  Um sistema de numeração, (ou sistema numeral) é um sistema em que um conjunto de números são representados por numerais de uma forma consistente. Pode ser visto como o contexto que permite ao numeral "11" ser interpretado como o numeral romano para dois, o numeral binário para três ou o numeral decimal para onze. O sistema binário ou base 2, é um sistema de numeração posicional em que todas as quantidades se representam com base em dois números. Símbolos da base Binária: 0 1 O sistema binário é a base para a Álgebra Booleana (George Boole - matemático inglês). Permite fazer operações lógicas e aritméticas usando apenas dois dígitos ou dois estados (sim e não, falso e verdadeiro, tudo ou nada, 1 ou 0, ligado e desligado). A eletrónica digital e a computação estão baseadas no sistema binário e na lógica de Boole, que permite representar por circuitos eletrónicos digitais os números ou caracteres, realizar operações lógicas e aritméticas. Os programas de computadores são codificados sob a forma binária e armazenados nas memórias, discos, etc… sob esse formato. Quando pretendemos fazer a conversão de decimal para binário, dividimos sucessivamente por 2. O número binário é formado pelo quociente da última divisão seguido dos restos de todas as divisões na sequência em que foram realizadas. Por exemplo,   Quando pretendemos a conversão de binário a decimal, devemos escrever cada número que o compõe, multiplicado pela base do sistema (base=2), elevado à posição que ocupa. A soma de cada multiplicação de cada dígito binário pelo valor das potências resulta no número real representado. Por exemplo: 1100 no sistema binário é:  O sistema decimal é um sistema de numeração de posição que utiliza a base dez. Símbolos da base Decimal: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Baseia-se numa numeração de posição, onde os dez algarismos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 servem para contar unidades, dezenas, centenas, etc… da direita para a esquerda. Contrariamente à numeração romana, o algarismo árabe tem um valor diferente segundo sua posição no número: assim, em 111, o primeiro algarismo significa 100, o segundo algarismo 10 e o terceiro 1, enquanto que em VIII (oito em numeração romana) os três I significam todos 1. Assim: 111 = 1 x 100 + 1 x 10 + 1 ou 547 0 5 x 100 + 4 x 10 + 7 No sistema decimal o símbolo 0 (zero) posicionado à esquerda do número escrito não altera seu valor representativo. Assim: 1, 01, 001 ou 0001 representam a mesma grandeza, neste caso a unidade. O símbolo zero posto à direita implica multiplicar a grandeza pela base, ou seja, por 10 (dez). No ensino básico, as crianças aprendem o sistema decimal por construção de grupos de 10 unidades: O grupo de dez unidades recebe o nome de dezena. Cada grupo de 10 dezenas forma uma centena. Cada grupo de 10 dezenas forma 1 milhar… Os grupos de 1, 10, 100 elementos são chamados de ordens. Cada ordem forma um novo grupo denominado classe. Por exemplo: 352 tem 3 ordens e 1 classe Vejamos mais exemplos consultando a seguinte tabela:  2 351: dois mil trezentos e cinquenta e um. 30 423 048: Trinta milhões, quatrocentos e vinte e três mil e quarenta e oito. 246 102 025: Duzentos e quarenta e seis milhões cento e dois mil e vinte e cinco.  Existem muitos mais sistemas de numeração que cabe ao leitor explorar. Nas fontes utilizadas para redigir esta explicação muito simplificada, poderá ser encontrada matéria relevante para quem quiser debruçar-se sobre esta temática.
Fontes: http://gec.di.uminho.pt/discip/lesi/csi0405/MaterialApoio/SistemasNumeracaoFev05.pdf http://www.feng.pucrs.br/~vargas/Disciplinas/Logica-Computacional-Aplicada/Parte-1(LOG-APL).pdf http://comp.ist.utl.pt/ec-sd/teoricas/cap01.pdf http://www.inf.ufsc.br/~bosco/extensao/sistemas-de-numeracao.pdf http://www.estgv.ipv.pt/paginaspessoais/ffrancisco/sd0506/02sn.pdf http://www.mundoeducacao.com/matematica/sistema-numeracao-decimal.htm Os sistemas de numeração são criações essenciais para que a elaboração de algoritmos ocorra. Hoje em dia, encontramo-nos tão centrados no sistema de numeração árabe, que nos esquecemos que a nossa forma de expressar os diferentes algoritmos tão comumente utilizados não é a verdade universal. O desafio proposto nesta despretensiosa rubrica é despertar a curiosidade para outras formas de expressar o pensamento matemático e, sobretudo, valorizar as heranças que os antigos nos legaram e que permitiram que tivéssemos opções de trabalho mais consistentes. Embora não seja o sistema numérico mais antigo que consta dos diversos registos históricos, escolheu-se o sistema de numeração egípcio para iniciar esta viagem pelos tempos. Comecemos por observar que, até às nove unidades, se utilizava o símbolo do bastão repetido tantas vezes quantas as necessárias para a representação da contagem efetuada.  Quando era atingida a dezena (calcanhar), os demais elementos, até à centena, eram representados usando a repetição do símbolo do calcanhar (indicando o número das dezenas) e o símbolo do bastão (indicando o número das unidades).  Apresentam-se, de seguida, os diferentes símbolos utilizados para indicar a centena, o milhar, a dezena de milhar …  Note-se que este sistema de numeração é um sistema baseado em potências de base 10, consequentemente é um sistema decimal. Reparou que o conceito de zero não existe? Vejamos agora o sistema de numeração utilizado pelos babilónicos:  Como ficaria o número 45?
É importante referir que o I, X e C se colocam à esquerda de outras de maior valor absoluto para indicar a diferença entre eles. Por exemplo, o I coloca-se à esquerda de V ou X, enquanto o X se coloca à esquerda de L ou de C; ainda se ressalva que C se coloca à esquerda de D ou M.
Caso coloquemos um símbolo inicial de valor superior que o posterior, a leitura deve ser feita executando a soma dos dois valores absolutos. Por exemplo, observamos que VI representa o número inteiro 6 (5+1=6) ou que XIII representa o inteiro 13 (10+3=13). Se colocarmos um símbolo inicial de valor inferior ao símbolo posterior, a leitura deve ser feita diminuindo ambos os valores a apresentando a resposta em valor absoluto. Por exemplo, IV representa 0 4 (5-1=4), ou XL representa o 40 (50-10=40). Experimente colocar números inteiros ao acaso e converter em numeração romana… Fica aqui o desafio. Muitos são os sistemas de numeração de origem mais remota que poderiam ser citados (o sistema de numeração hindu, chinês, africano,…), mas o objetivo desta rubrica centra-se na tentativa de aguçar a curiosidade e não fornecer uma descrição exaustiva e demasiado académica desta área do saber. Fica aqui a promessa de abordar sistemas de numeração mais relevantes como o sistema decimal, binário, ou hexadecimal. Fontes: Torra, V. (2011). Do Ábaco à revolução digital: Algoritmos e Computação. RBA Coleccionables, S.A. Espanha. Mundo Educação http://www.mundoeducacao.com/matematica/sistema-numeracao.htm |
